たか松

理系大学4年です

【統計力学】重力があるときの理想気体


一様重力gがある、地面に立てられた無限高さの円筒中にある質量mをもつN個の理想気体を考えます。円筒の底面積をA、高さをzとし、温度Tで熱平衡状態にあるとします。

                                             

まず、この系のハミルトニアンHは円筒の底を基準にすると、

H= \displaystyle \sum^{N}_{i=1}\left(\dfrac{{p_{ix}}^2+{p_{iy}}^2+{p_{iz}}^2}{2m}+mgz_{i}\right)

と記述できます。ここで、p_{ix},p_{iy},p_{iz}i番目の粒子のx,y,z方向に対する運動量、z_{i}i番目の粒子の高さです。

これより分配関数Zは、

Z=\dfrac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle \int dx_1dy_1dz_1 \cdots dx_Ndy_Ndz_N \int dp_{1x}dp_{1y}dp_{1z} \cdots \\\ dp_{Nx}dp_{Ny}dp_{Nz}×\exp \left(-\beta \displaystyle \sum^{N}_{i=1}\left(\dfrac{{p_{ix}}^2+{p_{iy}}^2+{p_{iz}}^2}{2m}+mgz_{i}\right)\right)\\= \displaystyle \dfrac{1}{N!h^{3N}} \left(\int_{-\infty}^{\infty}\exp \left(-\beta\dfrac{p^2}{2m}\right) dp \right)^{3N} \left(A\int_{0}^{\infty} \exp\left(-\beta mgz \right) dz\right)^N\\=\dfrac{A^N}{N!h^{3N}}\left(\dfrac{2m\pi}{\beta}\right)^{3N/2} \left(\dfrac{1}{\beta mg}\right)^N\\=\dfrac{1}{N!}\left(\dfrac{2\pi mk_{B}T}{h^2}\right)^{3N/2}\left(A\dfrac{k_{B}T}{mg}\right)^N

ただし、\displaystyle \int dxdy = Aです。

Helmholzの自由エネルギーF

F=-k_{B}T\log Z \\=-k_{B}T\left(\dfrac{3}{2}N\log\left(\dfrac{2\pi mk_{B}T}{h^2}\right)+N\log\left(A\dfrac{k_{B}T}{mg}\right)-\log N!\right)\\=-k_{B}T\left(\dfrac{3}{2}N\log\left(\dfrac{2\pi mk_{B}T}{h^2}\right)+N\log\left(A\dfrac{k_{B}T}{Nmg}\right)+N\right)

エントロピーS

S=-\dfrac{\partial F}{\partial T}\Bigg|_{V}\\=k_{B}\left(\dfrac{3}{2}N\log\left(\dfrac{2\pi mk_{B}T}{h^2}\right)+N\log\left(A\dfrac{k_{B}T}{Nmg}\right)+N\right)+k_{B}T×\left(\dfrac{3}{2}N\dfrac{1}{T}+N\dfrac{1}{T}\right)\\=k_{B}\left(\dfrac{3}{2}N\log\left(\dfrac{2\pi mk_{B}T}{h^2}\right)+N\log\left(A\dfrac{k_{B}T}{Nmg}\right)+N\right)+\dfrac{5}{2}Nk_{B}

内部エネルギーU

U=F+TS\\=-k_{B}T\left(\dfrac{3}{2}N\log\left(\dfrac{2\pi mk_{B}T}{h^2}\right)+N\log\left(A\dfrac{k_{B}T}{Nmg}\right)+N\right)\\+k_{B}T\left(\dfrac{3}{2}N\log\left(\dfrac{2\pi mk_{B}T}{h^2}\right)+N\log\left(A\dfrac{k_{B}T}{Nmg}\right)+N\right)+\dfrac{5}{2}Nk_{B}T\\=\dfrac{5}{2}Nk_{B}T

比熱C

C=\displaystyle \dfrac{\partial U}{\partial T}\\=\dfrac{\partial}{\partial T}\dfrac{5}{2}Nk_{B}T=\dfrac{5}{2}Nk_{B}